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野次馬エンジニア道

野次馬な気持ちでプログラミングをあれこれと綴ります

確率分布 - 一様分布と幾何分布

二項分布とポアソン分布以外の分布について。

一様分布

とその前に、高校生の数学。等差数列の和

{ \displaystyle
\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}
}

{ \displaystyle
\sum_{k=1}^{n} {k}^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
}

{ \displaystyle
\sum_{k=1}^{n} {k}^3 = {\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2
}

一様分布の期待値

一様分布の確率分布を、{ f(x) = 1/n \quad x = 1, 2, \cdots, n  } とすると、上記の等差数列の和の式を使って

{ \displaystyle
 E[X] = \sum_{i=1}^{n}x \cdot \frac{1}{n} = \frac{n+1}{2}
}

一様分布の分散

{ \displaystyle
 V[X] = \sum_{i=1}^{n}(x - \mu)^2 \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n} \left( \sum_{i=1}^{n}x^2 - \frac{1}{n} \left( \sum_{i=1}^{n}x \right)^2 \right)
 }

{ \displaystyle
  = \frac{n^2-1}{12}
 }

となる。

幾何分布

x回目に初めて成功する確率分布 { f(x) = p(1-p)^{x-1} \quad x = 1, 2, \cdots, n  } とすると

幾何分布の期待値

{ \displaystyle
 E[X] = \sum_{x=1}^{\infty}x \cdot pq^{x-1}  = p\sum_{x=1}^{\infty}x \cdot q^{x-1}
}

{ \displaystyle
 = p \left\{ 1\cdot(1-p)^0 + 2\cdot(1-p)^1 + \cdots + n\cdot(1-p)^{n-1} + \cdots \right\}
}

となるので、

{ \displaystyle
 (1-p)E[X] = p \left\{ 1\cdot(1-p)^1 + 2\cdot(1-p)^2 + \cdots + n\cdot(1-p)^{n} + \cdots \right\}
}

{ \displaystyle
 E[X] - (1-p)E[X] = p \left\{ (1-p)^0 + (1-p)^1 + \cdots + (1-p)^{n} + \cdots \right\}
}

無限級数 { \displaystyle
\sum_{k=0}^{\infty} ar^k = \frac{a}{1-r}
} を利用すると

{ \displaystyle
 = pE[X] = p \cdot \frac{1}{1-(1-p)}
}

{ \displaystyle
 E[X] = \frac{1}{p}
}

幾何分布の分散

続いて分散を求める。{ E[X^2] } を同様の手順で変形すると

{ \displaystyle
 E[X^2] - (1-p)E[X^2] = p \left\{ (1^2-0^2)(1-p)^0 + (2^2-1^2)(1-p)^1 + \cdots + ((n+1)^2-n^2)(1-p)^{n} + \cdots \right\}
}

ここで、{(x+1)^2 - x^2 = 2x + 1 } を利用すると

{ \displaystyle
 E[X^2] = \sum_{x=1}^{\infty}(2x + 1)(1-p)^n
}

{ \displaystyle
 E[X^2] - (1-p)E[X^2] =  (1-p)^0 + 2(1-p)^1 + \cdots + 2(1-p)^{n} + \cdots
}

{ \displaystyle
 = pE[X^2] = 1 + 2 \cdot \frac{1-p}{1-(1-p)}
}

{ \displaystyle
 E[X^2] = \frac{2-p}{p^2}
}

{ \displaystyle
 V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{2-p}{p^2} - \left( \frac{1}{p}\right)^2 = \frac{1-p}{p^2}
}